ISSN:
0392-6737
Schlagwort(e):
Electrical phenomena in gases
Quelle:
Springer Online Journal Archives 1860-2000
Thema:
Physik
Beschreibung / Inhaltsverzeichnis:
Riassunto In questo lavoro si affronta il problema della soluzione delle equazioni cinetiche che risultano dallo sviluppo della funzione di distribuzione delle velocità elettroniche in termini di gradiente della densità nell’equazione di Boltzmann. I coefficienti di ordine zero e uno di detta espansione sono approssimati a loro volta con ulteriori sviluppi (troncati) in polinomi di Legendre (o associati di Legendre) che trasformano le equazioni cinetiche in tre gerarchie accoppiate di equazioni per i coefficienti finali. È la soluzione di queste gerarchie che permette di determinare la funzione di distribuzione delle velocità, la velocità di deriva ed i coefficienti di diffusione. Sulla base di una preliminare analisi della struttura matematica dei risultanti sistemi di equazioni differenziali singolari (con termini alle differenze dovuti agli urti anelastici) si sviluppa un procedimento che isola e costruisce, per arbitrario ordine (pari) di approssimazione, la parte non singolare della soluzione generale (NSPGS) di ciascuna gerarchia. La NSPGS è ottenuta prima nella regione delle basse energie (fino ad un appropriato punto di raccordo) e quindi nella regione delle alte energie (giù fino allo stesso punto di raccordo) partendo dai due punti singolari di ciascuna gerarchia, cioè da energie sufficientemente prossime allo zero e all’infinito, rispettivamente. La connessione continua delle due parti della NSPGS al punto di raccordo, unitamente alla condizione di normalizzazione, fornisce la soluzione fisicamente rilevante per ciascuna delle tre gerarchie. Detto in altri termini, anche se molto piú complessa, la tecnica costituisce una logica generalizzazione della tecnica di prolungamento regressivo usata per la soluzione a due termini dell’equazione di Boltzmann. In questo lavoro sono anche riportati i risultati di una prima applicazione ad un modello di plasma. I coefficienti di diffusione sono calcolati per diversi ordini crescenti di approssimazione fino alla convergenza e confrontati coi risultati forniti da accurate simulazioni Monte Carlo e dalla teoria convenzionale a due termini. Il perfetto accordo riscontrato coi risultati Monte Carlo dimostra l’estrema accuratezza dell’approccio proposto in questo lavoro.
Kurzfassung:
Резюме В этой статье мы рассматриваем решение кинетических уравнений, которые встречаются, когда разлагают функцию распределения для скоростей электронов по градиенту электронной плотности в уравнении Больцмана. Предлагается приближение для соответствующох коэффициентов нулевого и первого порядка, посредством разложения по полиномам Лежандра или по присоединеннным полиномам Лежандра вплоть до заданного числа (2l) членов, которое трансформирует кинетические уравнения в три связанные иерархии для соответствующих коэффициентов разложения. Решения этих иерархий позволяют определить скорость дрейфа, а также продольные и поперечные коэффициенты диффузии сгустка электронов. На основе анализа математической структуры этих систем сингулярных обыкновенных дифференциальных уравнений (с дополнительными разностными членами, обусловленными процессами неупрутих соударений, т.е. энергетическими потернми) развивается новая процедура, которая изолирует и конструирует несингулярную часть общего решения для каждой иерархии. Сначала несингулярная часть общего решения получается в области малых энергий электронов, а затем в области больших энергий, исходя из двух сингулярных точек для каждой иерархии, т.е. из очень малых и достаточно больших энергий, соответственно. Непрерывная связь несингулярных частей общих решений, полученных в двух различных энергетических областях, вместе с условием нормировки дает физически значимое решение для каждой из трех иерархий и позволяет вычислить козффициенты диффузии, которые представляют особый интерес в этой статье. Наша новая техника является логическим обобщением общепринятой техники продолжения, используемой для хорошо известного двух-членного приближения для стационарного и пространственно однородного уравнения Больцмана. В настогщей работе приводятся результаты первого применения предложенной новой процедуры к модельной плазме. Вычислнются коэффиценты диффузии при различных параметрах модели и полученные коэффициенты сравниваются со значениями, полученными при точном моделировании по методу Монте Карло, а талже с результатами общепринятой теории переноса для той же модели. Полученные коэффициенты диффузии для различных порядков приближения хорошо иллюстрируют возможности нашей новой процедуры. В частности, получено, что сходящиеся величины коэффициентов диффузии очень хорошо согласуются с соответствующими величинами, полученными по методу Монте Карло.
Notizen:
Summary In this paper we are concerned with the solution of the kinetic equations which are met when expanding the electron velocity distribution function with respect to the gradient of the electron density in the Boltzmann equation. The approximation of the corresponding zero- and first-order coefficients by an expansion in Legendre, or associated Legendre, polynomials up to a given number (2l)_ of terms, which transform the kinetic equations into three coupled hierarchies for the corresponding expansion coefficients, is assumed. The solutions of these hierarchies permit to determine the drift speed, as well as the longitudinal and transverse diffusion coefficients of an electron swarm. Based on an analysis of the mathematical structure of these singular ordinary differential equation systems (with additional difference terms due to the inelastic,i.e. energy loss, collision processes) a new procedure is developed which isolates and constructs (for arbitrary even approximation order 2l) the nonsingular part of the general solutions (NSPGS) of each hierarchy. The NSPGS is firstly obtained in the region of small electron energies (up to an appropriate connection point) and secondly in the region of large energies (down to the connection point) starting from the two singular points of each hierarchy,i.e. from very small and sufficiently large energies, respectively. The continuous connection of the two NSPGSs, obtained in the two different energy regions, together with the normalization condition, yield the physically relevant solution for each one of the three hierarchies and make it possible to calculate the diffusion coefficients we are particularly interested in. Our new technique, even if much more complex, is a logical generalization of the conventional backward prolongation technique used for the well-known two-term approximation of the stationary and spatially homogeneous Boltzmann equation. The present paper also reports a first application of this new procedure to a model plasma. The diffusion coefficients are calculated with increasing approximation order 2l up to their converged values, under different parameter conditions of the model and are compared with corresponding values found by accurate Monte Carlo simulations as well as with results of the conventional transport theory for the same model. The diffusion coefficients obtained for different (even) order of approximation well illustrate the power of our new procedure. In particular, the converged values of the diffusion coefficients are found to be in very good agreement with the corresponding Monte Carlo values.
Materialart:
Digitale Medien
URL:
http://dx.doi.org/10.1007/BF02450435
Permalink
