Partial solutions of finite elasticity-three dimensional deformations

Abstract

The equilibrium equations for the general three dimensional deformation of an isotropic incompressible hyperelastic material are given in a reciprocal form. These reciprocal equations firstly provide an alternative derivation of the inverse deformation results due to Shield [1] and secondly enable new reduced forms of the equilibrium equations to be given for those materials for which the strain-energy function depends upon only one of the principal strain invariants. For the neo-Hookean and extreme-Mooney materials these reduced equilibrium equations are shown to admit new exact solutions expressible in terms of Bessel functions. These deformation fields can be rendered as approximate solutions of various mixed boundary value problems of finite elasticity. Details are given for the problem of the flattening of a portion of a spherical shell which is not necessarily thin.

Zusammenfassung

Gleichgewichtsgleichungen für die generelle drei-dimensionale Deformation von isotropisch unzusammendrückbarem, hyperelastischem Material werden in einer reziproken Form dargestellt. Diese reziproken Gleichungen ergeben erstens eine Alternativableitung der inversen Deformations-Ergebnisse nach Shield [1] und ermöglichen zweitens neue reduzierte Formen von Gleichgewichtsgleichungen für solche Materialien, für die die Belastungsenergie-Funktion von nur einer der hauptsächlichen Belastungs-Unveränderlichen abhängt. Es wird gezeigt, dass für die Neo-Hookean- und extremen Mooney Materialien diese reduzierten Gleichgewichtsgleichungen neue exakte Lösungen erlauben, die in Form von Bessel-Funktionen ausgedrückt werden können. Diese Deformationsfelder können ungefähre Lösungen zu verschiedenen gemischten Grenzwertproblemen von endlicher Elastizität liefern. Es werden Einzelheiten für das Problem der Abflachung eines Teiles einer kugelartigen Schale, die nicht unbedingt dünn sein muss, angegeben.