Doppelnebenklassen als Klassenbegriff und Nomenklaturprinzip für Isomere und ihre AbzÄhlung

Abstract

The general principle of classifying molecules of a common gross formula according to “configurations” is founded on the combination of two abstractions among rigid molecular models with a common molecular frame, numbered places for ligands, and numbered ligands. It is shown that the various points of view, which can be taken for the classification are determined by two accordingly chosen subgroups $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$ of a permutation group $\mathfrak{S}$, the configurations being defined by the double cosets of the product $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$. Just as the irreducible representations of the symmetry group of an observable furnish the nomenclature for different types of eingenfunctions the double cosets here provide a nomenclature for the configurations. The special principle of classification is given by the choice of $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ and $\mathfrak{S}$. Thus, the enumeration of configuration leads to the generalised problem of enumerating double cosets. For this, three formulas are derived. In case of the special group $\mathfrak{S} = \mathfrak{S}_n$ G. Pólya found a formula of enumeration which is shown to reduce to our formulas in the appendix.

Zusammenfassung

Das allgemeine Prinzip, Moleküle gleicher Bruttoformel nach „Konfigurationen“ zu klassifizieren, beruht auf der Kombination zweier Abstraktionsprozesse in der Menge starrer Molekülmodelle zu einem gemeinsamen Molekülgerüst mit bezifferten PlÄtzen für Liganden und bezifferten Liganden. Es wird gezeigt, da\ die möglichen Klassifizierungsgesichtspunkte den möglichen Einteilungen von Permutationen einer Gruppe $\mathfrak{A}$ in Doppelnebenklassen des Produkts zweier entsprechend ausgewÄhlten Untergruppen $\mathfrak{B}$ und $\mathfrak{S}$ entsprechen. Ähnlich wie die irreduziblen Darstellungen der Symmetriegruppe einer Observablen die Nomenklatur für die Rassen der Eigenfunktion liefern, stellen die Doppelnebenklassen eine Nomenklatur für Konfigurationen. Das spezielle Klassifizierungsprinzip drückt sich in der Wahl der Gruppen $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ und $\mathfrak{S}$ aus. Die AbzÄhlung von Konfigurationen führt damit auf das verallgemeinerte Problem der AbzÄhlung von Doppelnebenklassen. Dafür werden drei Formeln abgeleitet. Im Falle der speziellen Gruppe $\mathfrak{S} = \mathfrak{S}_n$ ist von G. Pólya eine Anzahlformel entwickelt worden, die im Anhang auf unsere Formeln zurückgeführt wird.

Résumé

Les propriétés pseudoscalaires des molécules chirales sont l'object d'une théorie algébrique après une définition convenable des classes de molécules. L'analyse du phénomène de chiralité sur ces classes conduit à des aspects particuliers de la théorie de la représentation des fonctions de chiralité, à une nouvelle structure de réseau des partitions, à des propriétés des groupes de permutation qui y sont liés et donne finalement un aperÇu sur la structure des points de vue approchés pour les fonctions de chiralité. Ainsi le présent article contient des aspects purement mathématiques. Les théorèmes mathématiques qui seront énoncés et prouvés sans référence essentielle à la physique se trouveront dans l'appendice. L'article lui-mÊme présente en premier lieu le phénomène physique; les concepts proposés par le formalisme mathématique tels que: ordre de chiralité, indice de chiralité, nombres de chiralité, complétude qualitative, hypothèse brève, partitions active et inactive des ligands, etc... donnent lieu à une systématisation et à une étude concernant la measure des propriétés liées à la chiralité des molécules. Par example, les points de vue co- et contravariant pour le comportement des fonctions par transformation nozs deux interprétations possibles des fonctions par transformation nous donne deux interprétations possibles des fonctions de chiralité. Nous pouvons considérer les composantes des fonctions appartenant à des représentations irréductibles comme des fonctions de chiralité pour des mélanges d'isomères. De là les opérateurs de projection sont dotés d'une interprétation physique d'opérateurs d'ensemble pour les mélanges d'isomères. Le chapitre 10 esquisse des applications de la théorie de cet article. Les premières comparaisons convaincantes des données expérimentales pour le pouvoir rotatoire des dérivés alléniques avec les valeurs théoriques basées sur les approximations des méthodes présentées aux chapitres 8 et 10 sont disponibles et en voie de publication. Les conséquences mathématiques de la définition du réseau de partition donnée au chapitre 6 seront développées par ailleurs.