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Enclosing solutions of an inverse Sturm-Liouville problem with finite data

Lösungseinschließung eines inversen Sturm-Liouville-Problems mit endlichen Daten

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Abstract

This paper is concerned with the reconstruction of an unknown potentialq(x) in the Sturm-Liouville problem with Dirichlet boundary conditions, when only a finite number of eigenvalues are known. The problem is transformed into a system of nonlinear equations. A solution of this system is enclosed in an interval vector by an interval Newton's method. From the interval vector, an interval function[q](x) is constructed that encloses a potentialq(x) corresponding to the prescribed eigenvalues. To make this numerical existence proof rigorous, of course, all discretization and rounding errors have to be taken into account in the computation.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird die Rekonstruktion eines unbekannten Potentialsq(x) im Sturm-Liouville-Problem mit Dirichletschen Randbedingungen behandelt, wobei nur endlich viele Eigenwerte als bekannt vorausgesetzt werden. Dieses Problem wird in ein nichtlineares Gleichungssystem überführt. Mit einem Intervall-Newtonverfahren wird eine Lösung des Gleichungssystems in einen Intervallvektor eingeschlossen. Aus dem Intervallvektor wird eine Intervallfunktion[q](x) konstruiert, die ein Potentialq(x) einschließt, das die gestellte Rekonstruktionsaufgabe löst. Um auf diese Weise den numerischen Existenznachweis einer Lösung zu führen, sind die bei der praktischen Berechnung auftretenden Diskretisierungs- und Rundungsfehler zu berücksichtigen.

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  1. Institut für Angewandte Mathematik, Universität Karlsruhe, D-76128, Karlsruhe, Germany

    M. Neher

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  1. M. Neher
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Neher, M. Enclosing solutions of an inverse Sturm-Liouville problem with finite data. Computing 53, 379–395 (1994). https://doi.org/10.1007/BF02307388

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