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References
“Einige Anwendungen der Residuenrechnung von Cauchy”, Journ. f. Math. Bd. 89, sowie Handbuch der Kugelfunctionen 2. Aufl. Bd. 2, pag. 216.
Diesen speciellen Fall habe ich behandelt in einer Arbeit “Zur Theorie der Wärmeleitung in festen Körpern” (Zeitschrift für Math. 1887); daselbst ist gezeigt, dass bei der Integration der partiellen Differentialgleichung nicht die Darstellbarkeit der Functionf(x) gefordert wird, sondern die Convergenz einer Functionv(t, x) fürt=0 nachf(x). Ist aber die Darstellung möglich, so vereinfacht sich dieser Nachweis. Ebenso verhält es sich bei den anderen Problemen, bei denen die FunctionenU in Betracht kommen.
“Sur le développement des fonctions ou parties des fonctions en séries dort les divers termes sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre, contenant un paramètre variable”. Journ. de Mathématiques T. II, pag. 16 et pag. 418.
Auch hat Liouville, wie ich der geschichtlichen Uebersicht halber erwähnen möchte, nicht die Nothwendigkeit der Bedingungen (1) und (2) erkannt, um daraus die Bedingung (4) herzuleiten; er ersetzte vielmehr diese Bedingung durch den Satz: Wenn das Integral\(\int\limits_U^X U (\lambda , x)\psi (x)dx\) Null wird bei allen Werthen von λ, welche der Gleichung ω(λ)=0 genügen, so muss ψ(x) im Allgemeinen null sein. Dieser Schluss ist aher von ihm nur bewiesen, vorausgesetzt dass ψ(x) nicht unendlich viele Maxima und Minima besitzt, worauf schon Ossian Bonnet in seiner preisgekrönten Arbeit “Sur la théorie générale des séries” (Académie de Belgique 1849) hinwies. Derselbe liess in Folge dessen die Lionville'sche Methode ganz fallen, und versuchte das von Poisson angegebene Verfahren zu einem vollgultigen Beweise auszugestalten, was indessen nicht in befriedigender Weise gelingen kann. Nur in der kurzen Notiz von Sturm und Liouville (Journal T. II, p. 220) wird die in der obigen ersten Bedingung enthaltene Reihe ohne Beweis eingeführt, und die richtige Verwerthung später durch eine Bemerkung (p. 436) angedentet.
In allgemeinster Form sind dieselben bewiesen worden von Hankel, Die Cylinderfunctionen erster und zweiter Art. Math. Annal. Bd. 1; Hansen, Schlömilch und Lipschitz haben die Entwickelung bei reellen Werthen des Argumentes behandelt.
Einzig und allein auf Grund dieses Satzes, also in möglichst directer Weise, die aber auch eine lange Reihe von Untersuchungen erfordert, ist der Beweis von der Gültigkeit der Entwickelung nach Cylinderfunctionen von Herrn Dini erbracht worden (Serie di Fourier e altre rappresentazione analytiche delle funzioni di una variabile reale. Pisa 1880, pag. 231–269) und dieser Beweis dürfte wohl der erste vollständige sein, der überhaupt durchgeführt worden ist. Denn die aus dem Nachlasse von Hankel (Math. Annalen Bd. 8) veröffentlichten Untersuchungen, die sich im wesentlichen gleichfalls auf den Residuensatz stutzen, sind noch nicht in allen Punkten klar gelegt und beziehen sich nur auf den Fallh=∞. Der Dini'sche Beweis, den schon früher Herr Schläfli in einer kurzen Note (Math. Ann. Bd. 10) für den Fallh=∞ angedeutet hatte, ist auch von Herrn C. Jordan in etwas anderer Form reproducirt worden (Cours d'Analyse; t. 3, Paris 1887, pag. 445–463). Cauchy selbst hat mittelst seines Residuensatzes die Entwickelung nach Cylinderfunctionen meines Wissens nicht behandelt; wohl aber hat er einen gültigen Beweis für die Convergenz der Fourier'schen Reihe, die bei ihm als ein specieller Fall allgemeinerer Reihen erscheint, erbracht und zwar in der Abhandlung: “Sur les résidus des fonctions exprimées par des intégrales definies” (Exercices de mathématiques, T. II. 1827). Nicht nur Dirichlet in seiner grundlegenden Arbeit über die Fourier'sche Reihe, sondern viel später noch Bonnet und Riemann, sowie andere geschichtliche Darstellungen erwähnen immer nur den verfehlten Beweis, welchen Cauchy in seiner Abhandlung der Pariser Akademie (Tome VI) im Jahre 1826 vorlegte, während die andere Abhandlung (zwei Jahre älter als die Dirichlet'sche) einen Beweis enthält, der vollständig und genau ist, sobald man nur die Voraussetzungen über die Beschaffenheit der Functionf(x) betont, unter welchen gewisse Umformungen bestimmter Integrale, die bei Cauchy vorkommen, allein und überdies in etwas anderer Form, als es dort geschehen ist, zulässig werden. Diese Voraussetzungen sind aber die bekannten, von Dirichlet angegebenen, dessen Verdienst um die Theorie der Fourier'schen Reihe durch diese historische Thatsache nicht geschmälert wird, da erst durch seine Untersuchungen die Theorie in Zusammenhang gebracht wurde mit allgemeinen ganz neuen Bedingungen für die Convergenz bestimmter Integrale und unendlicher Reihen.
Von einem Integrale dieser Form geht auch Herr Dini bei seinen Untersuchungen aus (a. a. O. pag. 250), nur dass dort die FunctionP n (λx) zu Grunde gelegt ist, welche mitU durch die Gleichung zusammenhängt\(P^n (\lambda x) = \frac{{2^{n + \tfrac{1}{2}} \Gamma (n + 1)}}{{(\lambda x)^{n + \tfrac{1}{2}} }}U^n (\lambda x)\).
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A. d. Berichten der k. sächs. Ges. d. W. v. Jahre 1887.
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Harnack, A. Ueber die Darstellung einer willkürlichen Function durch die Fourier-Bessel'schen Functionen. Math. Ann. 35, 41–62 (1889). https://doi.org/10.1007/BF01443869
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01443869