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Literatur
Analyse algébr. (1821) p. 132ff.
Die Publication der betreffenden Arbeiten, von denen später noch im einzelnen die Rede sein wird, fällt in den Zeitraum von 1832–1851.
Crelles Journal Bd. 13. (1835) p. 171ff.
Dieselbe findet sich in den „Annali dell' Univ. Tosc. T.IX”, ist aber auch unter dem im Texte angegebenen Titel separat erschienen:Pisa, 1867,Tipografia Nistri.
Vgl. hierüber weiter unten: § 7, die Randbem. zu Gl. (H).
Selbst in den mit ausserordentlich zahlreichen Literatur-Angaben versehenen „Vorlesungen über allgemeine Arithmetik von O. Stolz” findet dieselbe keine Erwähnung. Vielmehr sind dort (s. Bd. I, p. 251 ff.) gewisse Methoden und Resultate ausdrücklich Du Bois Reymond zugeschrieben, die sich schon bei Herrn Dini finden.
„Neue Theorie der Convergenz und Divergenz von Reihen mit positiven Gliedern”—Crelle Bd. 76, (1873) p. 61ff. —Vgl. auch: Comptes rendus 1888. II, p. 941.
„Neue Theorie der Convergenz und Divergenz von Reihen mit positiven Gliedern”—Crelle Bd. 76, (1873) a. a. O. p. 61. Alin. I.
S. weiter unten die Randbem. auf p. 311 und p. 347, 349.
S. weiter unter die Randbem. auf a. a. O. Art. VI.
Vgl. § 6, am Schlusse.
s. die Randbem. gegen Schluss des § 1.
Die Kriterien (D′) sind in dieser Form zuerst aufgestellt von Hrn. Bonnet,Journ. de Mathim. T. VIII (1843), p. 78.
Analyse algébr. p. 133.
desgl. p. 137.
Journal de Mathém. T. VII (1842), p. 37.—Eine einfachere Herleitung von Paucker: Crelle's Journal, Bd, 42 (1851), p. 139. Die fraglichen Kriterien sind, wie Herr Bertrand a. a. O. (auch Herr Bonnet a. a. O.) gezeigt hat, nicht wesentlich verschieden von denjenigen, welche de Morgan in seinem Lehrbuche der Diff.-und Integr.-Rechnung abgeleitet hat (London, 1839).
a. a. Journal de Mathém. T. VII (1842), O. p. 12.
Journ. de Mathém. T. VIII, p. 79.
a. a. O. Journ. de Mathém. T. VIII, p. 79. 88.
Crelle's Journal, Bd. 13, p. 172. Die von Herrn Kummer hinzugefügte bedingung lim ϕ(n)·a n =0 hat zuerst Herr Dini (a. a. O. Art. 19) als überflüssig erkannt, später hat auch Du Bois Reymond (a. a. O. Art. VII) die Richtigkeit des fraglichen Kriteriumsohne jene Nebenbedingung erwiesen. Eine sehr einfache und durchsichtige Formulirung dieses Beweises findet sich bei Stolz, Vorl. über allg. Arithmetik, Bd. I, p. 259.
Vgl. die oben citirte Stelle bei Stolz; ferner: Jensen (Zeuthen Tidskrift T. II, p. 63). Herr Jensen hat nämlich das fragliche Kriterium, obschon dasselbe längst in alle grösseren Compendien übergegangen ist, ein halbes Jahrhundert nach Herrn Kummer's Publication von neuem entdeckt und dieser Entdeckung solche Wichtigkeit beigemessen, dass er dieselbe gleich andrei verschiedenen Stellen veröffentlichte—ausser a. a. O.: Comptes rendus, T. 106 (1888, I) p. 729 und: Nouv. Ann. de Math., 3ième Série, T. VII, p. 196; dazu kommt noch ein Referat in Teixeira's Jornal etc., T. VIII, p. 157. Auf eine Replik des Herrn Cesaro (Comptes rendus, T. 106, p. 1142), dass jenes Kriterium nichts weniger als neu sei, hat sodann Herr Jensen zum mindesten die Bemerkung, dass die Kummer'sche Bedingung lim ϕ(n) a n =0 überflüssig sei, alssein specielles Eigenthum reklamirt (a. a. O. p. 1520). Dem hat nun wiederum Du Bois-Reymond (a. a. O. T. 107, p. 941) mit Hinweis anf seine Abhandlung über Convergenztheorie widersprochen. Man vergl. indessen die vorige Anmerkung.
Anal. algébr. p. 134.
Zeitschrift für Physik und Mathematik von Baumgartner und Ettinghausen, T. X. — Das betreffende Kriterium wurde zum zweiten Male entdeckt von Duhamel (Journ. de Mathém. T. IV, p. 214; vgl. auch: T. VI, p. 85).
Journ. de Mathém. T. VII, p. 43; vgl. auch: Bonnet, Journ. de Mathém. T. VIII, p. 89, und Paucker, Crelle's Journal, Bd. 42, p. 143. —Der Vollständigkeit halber sei noch bemerkt, dass die Gauss'schen Kriteien (Disquis. circa seriem infinitam etc. — Ges. Werke, Bd. III, p. 138) mit Ausnahme eines einzigen besonderen Falles sich unmittelhar aus demersten Kriterium der Serie (L, 2) — dem Raabe'schen — ableiten lassen, worauf schon Herr Kum mer (a. a. O. p. 174) aufmerksam gemacht hat, und dass jener eine noch übrig bleibende Fall sich mit Hülfe deszweiten Kriteriums der Serie (L, 2) —also des ersten Bertrand'schen — sich erledigen lässt (vgl. Schlömilch in dessen Zeitschr. für Math. Bd. X, p. 74). — Das gleiche gilt übrigens im Wesentlichen auch von den Kriterien des Herrn Weierstrass (Crelle's Journal, Bd. 51, p. 22), welche, auf Reihen mit complexen Gliedern sich beziehend, jene Gauss'schen als specielle Fälle umfassen (vgl. Stolz, Vorl. über allg. Arith. Bd. 1, p. 267, Bd. II, p. 145).
Vgl. hierüber den folgenden Paragraphen.
Analyse algébr. p. 53.
Man kann leicht nachweisen, dass bei einer divergenten bezw. convergenten Reihe die Glieder sich geradezu immer so in Gruppen zusammenfassen lassen, dass der fragliche Quotient beständig>1, bezw. <1 wird. (Bezüglich der convergenten Reihen vergl. Weyr,Deux Remarques relatives aux Séries-Teixeira, Jornal T. VIII, p. 97.)
Hoppe, Archiv der Mathematik Bd. 67, p. 63–95. Man vergl. insbes. p. 82 und 84.
Darboux,Bulletin, T. II, p. 250. Der angefochtene Beweis lässt sich indessen zu einem brauchbaren umgestalten, wenn man sich dabei genau derjenigen Schlussweise bedient, welche oben zur Begründung des Kriteriums (54) benützt wurde.
Näml. Zeitschr., T. XVIII (2ième Sér. T. VII) p. 142. — Es werden dort völlig aus dem Stegreif Reihen aufgestellt und mit Hülfe von bestimmten Integralen geprüft — welche mit den im § 6, Gl. (25)–(28) betrachteten die ausserordentlich schwache Divergenz bezw. Convergenz gemein haben und auch, wie jene, auf die Einführung unendlich oft iterirter Functionen beruhen. Aus diesen werden dann vermittelst eines Kunstgriffes, welcher die iterirten Functionen aus dem Endausdrucke verschwinden macht, die Kriterien (Z, 2) abgeleitet. Dieselben gehen dann offenbar ohne weiteres in die Kriterien (Z, 1) über, wenn man die inverse Function vonm x mitM x bezeichnet.
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Pringshem, A. Allgemeine Theorie der Divergenz und Convergenz von Reihen mit positiven Gliedern. Math. Ann. 35, 297–394 (1889). https://doi.org/10.1007/BF01443860
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01443860