Summary
Previous work on the creeping flow of viscoelastic fluids past a sphere is reviewed. Theoretical analyses available in the literature were obtained for weakly elastic fluids and therefore they predict only a small influence of fluid elasticity on the drag. In this paper, an approximate theoretical analysis is given for the creeping flow past a rigid sphere in an unbounded medium. The analysis uses a variational principle to solve the equations of motion and continuity in conjunction with the Carreau constitutive equation. The theoretical results are presented in terms of a correction factor to the Newtonian drag coefficient. The correction factor is a function of the power law flow behaviour indexn, the ratio of limiting viscosities (η 0 − η∞)/η0 and a dimensionless timeΛ which reflects the elastic nature of the fluids. The results are presented in graphical form covering a realistic range of these dimensionless groups.
In order to verify the theoretical predictions, the drag coefficient of a number of spheres was measured in a series of shear thinning elastic test fluids. The flow properties of the test fluids were independently measured with a Weissenberg Rheogoniometer. The power law index of the test fluids varied between 1.0 and 0.4. Particle Reynolds number based onη 0 was in the range of 4⋅10−6 to 4⋅10−2. The difference between theoretically predicted values of drag coefficient and the experimentally measured values is less than ±7.5%. In addition, it is found that the Carreau viscosity equation can be used to predict the elastic parameter of primary normal stress difference with moderate to good accuracy for all the polymer solutions used in this work.
Zusammenfassung
Einleitend wird ein Überblick über die früheren Untersuchungen betreffend die schleichende Strömung um eine Kugel gegeben. Die in der Literatur vorliegenden theoretischen Analysen sind auf schwach viskoelastische Flüssigkeiten beschränkt und sagen deshalb nur einen geringen Einfluß der Elastizität auf den Widerstand voraus. In dieser Veröffentlichung wird dagegen eine genäherte theoretische Analyse für die schleichende Strömung um eine starre Kugel in einem unendlich ausgedehnten Medium gegeben, bei welcher zur Lösung der Bewegungsgleichungen und der Kontinuitätsgleichung in Verbindung mit den rheologischen Stoffgleichungen vonCarreau ein Variationsprinzip verwendet wird. Die theoretischen Ergebnisse werden mittels eines Korrekturfaktors zum newtonschen Widerstandskoeffizienten beschrieben. Dieser Korrekturfaktor ist eine Funktion des Potenz-Gesetz-Exponentenn, des Verhältnisses der Grenzviskositäten (η 0 − η∞)/η0 und einer dimensionslosen ZeitΛ, welche das elastische Verhalten kennzeichnet. Die Ergebnisse werden in graphischer Form unter Zugrundelegung eines realistischen Wertebereichs dieser dimensionslosen Gruppen dargestellt.
Um diese theoretischen Voraussagen zu verifizieren, wurde der Widerstandskoeffizient für eine Anzahl von Kugeln in einer Reihe von Scherentzähung aufweisenden elastischen Probeflüssigkeiten gemessen. Die Fließeigenschaften dieser Flüssigkeiten wurden zusätzlich mit dem Weissenberg-Rheogoniometer bestimmt. Der Potenz-Gesetz-Exponent variierte dabei zwischen 1,0 und 0,4. Die auf den Kugeldurchmesser und die Nullviskosität bezogenen Reynolds-Zahlen lagen zwischen 4⋅10−6 und 4⋅10−2. Der Unterschied zwischen theoretisch vorausgesagten und experimentell bestimmten Widerstandskoeffizienten war kleiner als ±7,5%. Außerdem wurde noch gefunden, daß die Viskositätsgleichung vonCarreau dazu verwendet werden kann, den elastischen Parameter „erste Normalspannungs-Differenz“ für alle in dieser Untersuchung verwendeten Polymerlösungen mit mäßiger bis guter Genauigkeit vorauszusagen.
Similar content being viewed by others
Abbreviations
- C d :
-
drag coefficient
- d :
-
diameter of sphere
- f :
-
external body forces in equation of motion [2]
- F d :
-
drag force
- g :
-
acceleration due to gravity
- J :
-
integral defined in eq. [3]
- n :
-
a parameter in the Carreau viscosity eq. [6]
- p :
-
isotropic pressure term in equation of motion [2]
- r,θ,φ :
-
spherical coordinates
- R :
-
radius of sphere
- Re 0, Re1 :
-
Reynolds numbers defined in eq. [16]
- t :
-
time
- u i,u j :
-
velocities in equation of motion [2]
- u r ,u θ :
-
r andθ components of velocity
- V :
-
terminal velocity of sphere in unbounded medium
- V :
-
volume, in eq. [3]
- X :
-
correction factor to the drag force, eq. [14]
- y,z :
-
dimensionless spherical coordinates, eq. [9]
- β :
-
ratio of two Reynolds numbers given by eq. [16]
- \(\dot \gamma \) :
-
shear rate
- η :
-
apparent viscosity
- η 0,η∞ :
-
zero shear rate and infinite shear rate viscosities respectively
- λ :
-
a parameter in the Carreau viscosity eq. [6]
- Λ :
-
the dimensionless time, defined in eq. [11]
- Π :
-
second invariant of the rate of deformation tensor
- σ :
-
a parameter in the stream function, eq. [8]
- ψ :
-
stream function
- ρ p,ρf :
-
densities of sphere and fluid respectively
References
Acharya, A., R. A. Mashelkar, J. Ulbrecht, Rheol. Acta15, 454 (1976).
Leslie, F. M., R. I. Tanner, Quart. J. Mech. Appl. Maths.14, 36 (1961).
Caswell, B., W. H. Schwarz, J. Fluid Mech.13, 417 (1962).
Giesekus, H., Rheol. Acta3, 59 (1963).
Verma, P. D., S. C. Rajvanshi, Arch. of Mech.23, 613 (1971).
Ultman, J. S., M. M. Denn, Chem. Eng. J.2, 81 (1971).
Sigli, D., M. Coutanceau, J. Non-Newtonian Fluid Mech.2, 1 (1977).
Adachi, K., N. Yoshioka, K. Sakai, J. Non-Newtonian Fluid Mech.3, 107 (1977/78).
Zana, E., G. Tiefenbruck, L. G. Leal, Rheol. Acta14, 891 (1975).
Broadbent, J. M., B. Mena, Chem. Eng. J.8, 125 (1974).
Chhabra, R. P., P. H. T. Uhlherr, D. V. Boger, J. Non-Newtonian Fluid Mech.6, 187 (1980)
Kato, H., M. Tachibana, K. Oikawa, Bull JSME15, 1556 (1972).
Bird, R. B., R. C. Armstrong, O. Hassager, Dynamics of Polymeric Fluids, Vol. I, Wiley (New York 1977).
Abdel-Khalik, S. I., O. Hassager, R. B. Bird, Polym. Engng. Sci.14, 859 (1974).
Wagner, M. H., Rheol. Acta16, 43 (1977).
Bird, R. B., Can. J. Chem. Eng.43, 161 (1965).
Pawlowski, J., Kolloid-Z.138, 6 (1954).
Hopke, S. W., J. C. Slattery, Amer. Inst. Chem. Eng. J.16, 224 (1970).
Astarita, G., J. Non-Newtonian Fluid Mech.2, 343 (1977).
Wasserman, M. L., J. C. Slattery, Amer. Inst. Chem. Eng. J.10, 383 (1964).
Boger, D. V., Nature265, 126 (1977).
Slattery, J. C., Amer. Inst. Chem. Eng. J.8, 663 (1962).
Dallon, D. S., Ph. D. Thesis, Univ. Utah (1967).
Turian, R. M., Ph. D. Thesis, Univ. Wisconsin (1964).
Uhlherr, P. H. T., T. N. Le, C. Tiu, Can. J. Chem. Eng.54, 497 (1976).
Chhabra, R. P., P. H. T. Uhlherr, Rheol. Acta18, 593 (1979).
Chhabra, R. P., C. Tiu, P. H. T. Uhlherr, Proc. 6th Australasian Conference on Hydraulics and Fluid Mech., p. 435 (Adeleide 1977).
Tanner, R. I., J. Fluid Mech.17, 161 (1963).
Coulter, P. R., A computer programme for nonlinear regression analysis and function minimisation. CHER 70-2 (Monash University 1970).
Hopke, S. W., J. C. Slattery, Amer. Inst. Chem. Eng. J.16, 317 (1970).
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
With 7 figures and 1 table
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Chhabra, R.P., Uhlherr, P.H.T. Creeping motion of spheres through shear-thinning elastic fluids described by the Carreau viscosity equation. Rheol Acta 19, 187–195 (1980). https://doi.org/10.1007/BF01521930
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01521930