Genäherte Berechnung von Eigenwerten

Zusammenfassung

Es wurde im vorstehenden ein bereits früher entwickeltes Näherungsverfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen in seinen wesentlichen Grundlagen nochmals geschildert und seine Anwendung auf einige mechanische Probleme gezeigt.

Die dabei verwandte Entwicklung von Eigenwertλ und Eigenfunktionu in eine Potenzreihe des „störenden“ Parametersα in der Form

$$u = \upsilon _0 + \sum\limits_{i = 1,2,...} {\alpha ^i } \upsilon _i (z){\text{ }}und{\text{ }}\lambda = \lambda _0 + \sum\limits_{i = 1,2,...} {\alpha ^i \varepsilon _i } $$

zeigt, daß die erste Eigenwertsänderung ε₁ unmittelbar durch eine einfache Quadratur gewonnen, daß dannv ₁ aus einer inhomogenen Differentialgleichung, daraus wieder durch einfache Quadraturε ₂ gefunden werden kann und so fort. Es lassen sich gegebenenfalls einfache Rekursionsformeln aufstellen. (Die Ermittlung der bestimmten Integrale kann bei umständlicheren Gesetzen oder graphisch gegebenem Gesetz der störenden Funktion mit dem Planimeter erfolgen; ebenso kann bei Lösung der inhomogenen Differentialgleichungen unter Benutzung der Methode der Variation der Konstanten der Integraph oder das Integrimeter vonOtt oder das Stieltjes-Integrimeter vonNyström benutzt oder graphisch integriert werden.)

In manchen Fällen wird die Bestimmung des Einflusses vonα ¹ ausreichen; dann gibt$\varepsilon _1 = \left. {\frac{{\partial \lambda }}{{\partial \alpha }}} \right|_{\alpha = 0}$ an, in welcher Richtung sichλ ändert, ob der Eigenwert steigt oder sinkt, und$\upsilon _1 = \left. {\frac{{\partial u}}{{\partial \alpha }}} \right|_{\alpha = 0}$ an, wie sich die Nullstellen der Eigenfunktion gegenüber denen des Nullproblems verschieben. Der Einfluß vonα ² liefert$\varepsilon _2 = \frac{1}{{2!}}\left. {\frac{{\partial ^2 \lambda }}{{\partial \alpha ^2 }}} \right|_{\alpha = 0}$ und bestimmt damit die Krümmung der Kurveλ (α) fürα=0. Die Ermittlung vonε ₂ empfiehlt sich besonders dann, wennε ₁=0 ist. Dann hatλ(α) fürα=0, d. h. inλ ₀ einen Höchst- bzw. Tiefstwert, je nachdemε ₂<0 oder >0 ist.