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Literatur
Der Zusatz “bezüglich Γ” werde im folgenden als selbstverständlich zumeist weggelassen.
S. auch meine demnächst erscheinende Abhandlung im Archiv für Math. und Phys. (3), Bd. XI. Die den homogenen Koordinaten (2) der PunkteY i zugehörigen Proportionalitätsfaktoren werden, da sie nicht weiter in Betrachtkommen, unterdrückt.
Siehe meine Arbeiten im Archiv für Math. u. Phys. (3), Bd. V, p. 168, Bd. VIII, p. 135, Bd. XI.
S. die Fußnote auf p. 4.
Eine Fläche zweiter Ordnung und eine Fläche zweiter Klasse heißen apolar, wenn ihre bilineare Invariante verschwindet.
Zwischen den acht Quadraten der Linearformen (in denu i ), deren Verschwinden die acht Einheitspunkte darstellt, findet danach eine lineare Identität statt; das sagt aus, daß durch sieben derselben der achte eindeutig bestimmt ist. Dies ist ersichtlich nur ein besonderer Fall eines bekannten Satzes über die acht Grundpunkte eines beliebigen Flächennetzes zweiter Ordnung.
S. meine Abhandlung, Archiv der Math. und Phys. (3), Bd. XI.
In der ∞1 Schar von Flächen Γ gibt es vier, von denen je eine Ebene αi von T berührt. Diese vier Berührungspunkte sind gerade die vier Schnittpunkte vong mit den Ebenen α1. Da es in einer linearen Schar von Flächen zweiter Klasse vier in KlassenkegelschnitteK 2 ausgeartete Flächen gibt, so existieren, wenn einer dieserK 2 im besonderen der Kugelkreis ist, wenn also dieY i die Fußpunkte der vonP auf die α1 gefällten Lotep i sind, noch dreiK 2, in bezug auf welche diep i ebenfalls zu den α1 konjugiert sind.
In der Tat erkennt man schon im Falle desR 4, daß bei beliebig gegebenenY i (i=1, 2, 3, 4, 5) den 15 homogenenc ik der entsprechenden Gleichung Γ (1) 15 lineare Bedingungen aufzuerlegen wären, daß also eine zugehörige Γ im allgemeinen nicht mehr existiert.
Die weitere Möglichkeit, daß auch das zweite Viereck ein ebenes ist, wird weiter unten besonders behandelt.
Der Ausdruck “Zwei Dreikante befinden sich in perspektiver Lage, wenn” ist der Kürze halber von dem entsprechenden Verhalten zweier Dreiecke in einer Ebene übertragen worden, wenn er auch sprachlich Bedenken verursacht.
Das Treffen zweier Kanten kann hier wiederum überall durch das Konjugiertsein derselben in bezug auf eine Fläche zweiter Klasse ersetzt werden.
Legt man den Koordinaten λ i , λ k , λ l , 0 der vierten Ecke von A, was erlaubt ist, die kanonischen Werte −1, −1, −1, 0, bei, so vereinfacht sich der Ausdruck [i, k] (30) zu: Φ {i, k}b l bm, in Übereinstimmung mit (II').
Geometrie der Lage, p. 40.
Der innere Grund dieser Erscheinung tritt hervor, wenn man den leicht beweisbaren Satz benützt, daß zwei perspektive Vierecke einer EbeneE stets —und zwar noch auf ∞4 Arten — als Schnitt eines vollständigen räumlichen Sechseckes mit der EbeneE betrachtet werden können. IstO das Perspektivitätszentrum, so hat man nur zwei Raumpunkte 1, 2 beliebig, aber so zu wählen, daß ihre Kante durchO hindurchgeht; dann sind die vier übrigen Ecken 3, 4, 5, 6 eindeutig bestimmt. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die v. Staudtsche Lage beider ebenen Vierecke ist dann die, daß die vier Raumpunkte 3, 4, 5, 6 einer und derselben Ebene angehören. Dann wird die angegebene Eigenschaft der beiden Hauptdreiecke eine augenscheinliche.
Liegen z. B. zwei fünfreihige Determinanten vor und man bildet jeweils unter Weglassung einer Reihe, aus deri ten undk ten Kolonne beider verbleibenden Matrices eine vierreihige Determinante, so ist das Verschwinden aller dieser 50 Determinanten äquivalent mit 20 Bedingungen, von denen wiederum 9 eine Folge der übrigen 11 sind. Geometrisch sagen diese Bedingungen aus, daß zwei Fünfecke imR 4 perspektiv liegen.
Es wird kein Mißverständnis veranlassen, wenn der Kürze halber die Worte “konjugiert, Pol” von der ursprünglichen Polarität (1) auf die entsprechenden Begriffe bei der Korrelation (32) übertragen werden.
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Meyer, W.F. Über Gebilde, die aus Tetraedern und Flächen zweiter Klasse zusammengesetzt sind. Monatsh. f. Mathematik und Physik 18, 138–157 (1907). https://doi.org/10.1007/BF01694191
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