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References
Wegen des Beweises dieses Existenztheorems vgl. man den Math. Ann. Bd. 21, p. 157 abgedruckten Brief von Herrn H. A. Schwarz an Herrn F. Klein und die daran anknüpfenden Noten des Herrn Ascoli, Ist. Lomb. Rendic. ser. 2, t. 18, sowie die 2. Auflage des Werkes von Herrn C. Neumann über Abel'sche Functionen.
Hermite, sur la théorie de la transformation des fonctions abéliennes, § II. (C. R. t. 40, 1855).
a. a. O. Hermite, sur la théorie de la transformation des fonctions abéliennes, § 3.
Dass hier +1 und nicht — 1 steht, ist durch die § 2 a. E. erwähnten Ungleichungen bedingt.
Traite des subst. p. 171. Uebrigens nennt Herr C. Jordan auch solche Substitutionen “abéliennes”, welche durch Bedingungen charakterisirt sind, in denen rechts statt wie in (13) und (15) eine 1, eine beliebige ganze Zahlk steht.
Vgl. z. B. Hermite a. a. O. Hermite, sur la théorie de la transformation des fonctions abéliennes, § II. (C. R. t. 40, 1855). Thomae, die allg. Transformation der O. Functionen (Diss. Gött. 1864); Clebsch und Gordan, Abel'sche Functionen (Leipzig 1865); Königsberger, Cr. J. Bd. 65, p. 344 ff.; Witting, Ueber eine Configuration im Raume (Diss. Gött. abgedr. in Schlömilch's Zeitschr. 1887); sowie die zusammenfassende Darstellung bei Krause, Die Transformation der hyperell. Fet. I. O. (Leipzig 1886) p. 69 ff.
Die doppelte Bedeutung der BuchstabenA, B wird nicht stören.
Herr Witting schreibtN′ stattN.
Später (§ 27) wird auch von “Primcharakteristiken” die Rede sein.
Zeitschr. f. Math. u. Phys. Bd. 12; auch Cr. J. Bd.75, p. 230 ff. Herr Thomae hat noch eine grössere Anzahl elementarer Aenderungen.
Die Buchstaben für die Erzeugenden wie bei Krazer, ann. di mat. ser. II. t. XII p. 296.
Abel'sche Functionen p. 304.
In Vorlesungen, vgl. Berl. Ac. Monatsber. 1866 (abgedr. Cr. J. Bd. 68, p. 273).
Vgl. die Figuren aus Riemann's Nachlass, ges. W. p. 404
C. R. Bd. 32 (1851).
Für die folgenden Entwicklungen vergleiche man die des Hrn. C. Jordan, tr. des subst. p. 357 ff. Dort leidet nur die Uebersicht darunter, dass die Frage mit der viel specielleren des Theilungsproblems verquickt und von dem anschaulichen Hilfsmittel der zweiblättrigen Riemann'schen Fläche kein Gebrauch gemacht ist.
Vgl. Math. Ann. Bd. 32, p. 392.
Tr. des subst. p. 360.
Obwohl die Betrachtung hyperelliptischer Functionen höherer Ordnung ausserhalb des Rahmens dieser Vorlesungen liegt, so sie es doch an dieser Stelle gestattet ausdrücklich hervorzuheben, dass zwar die Entwicklungenvon § 7, nicht aber die von § 8 für hyperelliptische Functionen von höheremp gültig bleiben; es soll dies an anderer Stelle ausgeführt werden (vgl. auch C. Jordan u, des subst
Ueber eine allgemeinere Wahl der unteren Grenzen vergl. § 42.
Vgl. Weierstrass, Abh. zur Funct.-Lehre p. 130.
Vgl. z. B. auch Staude, diese Ann. Bd. 24, p. 288ff., wo die α ik eben unsere ω ik sind.
Vgl. hier und im folgenden: Klein, zur Theorie der ell. Modulfunct., diese Ann. Bd. 17, p. 62.
C. Jordan, traité des subst. p. 176.
Gött. Nachr. 1888, p 150
Dies ist offenbar die eintachste Definition der Kummer'schen Fläche. Man vergleiche übrigens, was die Bezichung derselben zu den hyperelliptischen Functionen angeht, die zusammenfassende Darstellung bei Reichardt. (Ueber die Darstellung der Kummer'schen Fläche durch hyperelliptische Functionen, Leipz. Diss. 1887, auch Nova acta Leop. Bd. 50
Vgl. p. 241, Fussnote.
Wollte man Gewicht darauf legen, keine entbehrlichen Hilfspunkte zu benutzen, wie es in den Formeln des Textes die Grundpunkte des Coordinatensystems sind (vgl. § 11), so würde man in den Formen\(X_1 \bar X_2 \bar X_3 \) die bilinearen Factoren, welche nach Abtrennung des Determinantenquadrats übrig bleiben, zu ersetzen haben durch Polaren von irgend drei quadratischen Covarianten vonf, etwal 2 x ,m 2x ,n 2x Vgl. Clebech, Binare Formen p. 296 und die FormF durch eine Polare vonf selbst, sodass man erhielte: (Vgl. auch diese Ann. Bd. 27, p. 463) Die Coefficienten in der Gleichung der Kummer'schen Fläche werden dann rationale ganze Functionen der vier geraden FundamentalinvariantenA, B, C, D der Form 6. Ordnung (vgl. etwa Clebsch, a. a. O. p. 451 ff.) wo die betr. Rechnung fürx=x′ durchgeführt ist. Dagegen kann eine Form der Art wie Y überhaupt nicht ohne Einführung mindestens eines Hilfspunktes gebildet werden, da die Form 6. Ordnung keine Covariante entsprechender Natur mit nur zwei Reihen von Variabeln besitzt. Man würde also immer genöthigt sein eine Form wie etwa das Y, des Textes zu benutzen.
a. a. O. p. 357f.
a. a. O. p. 361, Z. 8.
a. a. O. p. 361, Z. 10.
a. a. O. p. 360.
Die hier alsS 5 bezeichnete Substitution ist in der Bezeichnung des Herrn C. JordanS 5 S 1 S 1.
a. a. O. p. 360, Z. 21.
Crelle J Bd. 16, p. 226.
Vgl. Krazer, Theorie der zweifach unendlichen Thetareihen auf Grund der Riemann'schen Thetaformel (Leipzig 1882), art. 16 a. E.
Staude, dieser Ann. Bd. 24, p. 284, 300.
Vgl. Staude a a. O.
Diese Annalen Bd.32, p. 363.
Die “Elementarcharakteristiken” sind identisch mit den “Gruppencharakteristiken”, die “Primcharakteristiken” mit den “eigentlichen Charakteristiken” des Herrn Noether, der den Unterschied beider Arten wiederholt hervorgehoben hat (vgl. dieser Ann. Bd. 16 p. 271; Bd. 26 p. 354). — Die im Text citirten Entwicklungen in Bd. 32 geben übrigens eine allgemeine Regel zur Bestimmung der Primcharakteristik einer vorgelegten Form in Bezug auf ein gegebenes Querschnittsystem.
Clebsch, binäre Formen p. 299
Mit „Transformation” ist also hier das gemeint, was man sonet beit Jacobi (z. B. ges. W. Bd 1, p. 463 ff. als „transformatio irrationalis sive inversa” bezeichnet.
Vgl. Hölder, dieser Ann. Bd. 34.
Wegen einer allgemeineren Wahl der unteren Grenzen vgl. § 42.
Gött. Abh. Bd. 14, 1869.
Traité des subst. p. 356.
Vgl. Hermite, Cr. J. Bd. 32, p. 277 (Jacobi's ges. W. Bd. II, p. 87).
Vgl. etwa C. Jordan, tr. des subst. p. 261 oder Netto, Substitutionentheorie p. 264.
Vgl. etwa C. Jordan, a. a. O. tr. des subst. p. 286 oder Netto, a. a. O. Substitutionentheorie p. 189 ff.
Clebsch und Gordan, Abel'sche Functionen § 70.
Tr. des subst. p. 176 ff.
H. Weber, annali di mat. ser. II, t. 9, p. 156.
Eine andere Ableitung für diese Zahl giebt C. Jordan, traité p. 666.
a. a. O. Eine andere Ableitung für diese Zahl giebt C. Jordan, traité p. 365 ff. p. 416 ff.
a. a. O. Eine andere Ableitung für diese Zahl giebt C. Jordan, traité p. 319 ff.
a. a. O. Eine andere Ableitung für diese Zahl giebt C. Jordan, traité p. 667.
Dieser Ann. Bd. 18.
a. a. O. Dieser Ann. Bd. 18. p. 346.
C. Jordan, tr. des subst. p. 278.
C. Jordan benntzt a. a. O. tr. des subst. p. 363 eine andere Ueberlegung.
C. Jordan, a. a. O. tr. des subst. p. 172.
Vergl. die pag. 246 citirten Arbeiten des Herrn Nöther im 16. und 28. Band dieser Ann., in welchen die entsprechenden Unterscheidungen für beliebige algebraische Gebilde stark betont sind.
Traité des subst. p. 380.
Gött. Nachr. 1884, p. 245.
Ueber die Perioden der elliptischen Integrale I. und II. Gattung, Dorpater Festschrift 1875; wieder abgedruckt diese Ann. Bd. 27, p. 234.
Vgl. insbesondere diese Ann. Bd. 31, p. 141.
Auch Herr Milewski (de Abelianarum functionum periodis per aequ. diff. definiendis, diss. Berol. 1876) giebt solche Gleichungen, aber für die Normalform des Herrn Weierstrass, die eine Wurzel als bekannt voraussetzt.
Cr. J. Bd. 71, vgl. bes. § 10.
Die Auflösung der Gleichung 5. Grades führt Herr Lindemann ganz ebenso auf die einer Gleichung 4. Grades zurück.
a. a. O. Die Auflösung der Gleichung 5. Grades führt Herr Lindemann ganz ebenso auf die einer Gleichung 4. Grades zurück. § 13.
Vgl. Thomae, Cr. J. 71, p. 222. Klein, diese Ann. Bd. 27, p. 438.—Herr Lindemann benutzt statt dieser Formeln andere, welche die Doppelverhältnisse der Wurzeln geben.
Solche Transformationen sind von den Herren Brioschi u. Maschke (Rendic. Ac. Linc. t.4, p. 181, Acta math. t. 12, p. 83) angegeben worden.
Vgl. Hermite, C. R. t. 40, 1855.—Zu dem ganzen Abschnitt vgl. man die p. 204 citirte zusammenfassende Darstellung von Krause.
Hermite a. a. O. C. R. t. 40, 1855.—Zu dem ganzen Abschnitt vgl. man die p. 204 citirte zusammenfassende Darstellung von Krause. § III.
sei es eine „reine” Invariante, sei es eine von Hülfspunkten abhängende, z. B. ein Coefficient vonf.
a. a. O. § XV. sei es eine „reine” Invariante, sei es eine von Hülfspunkten abhängende, z. B. ein Coefficient vonf.
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Burkhardt, H. Grundzüge einer allgemeinen Systematik der hyperelliptischen Functionen I. Ordnung. Math. Ann. 35, 198–296 (1889). https://doi.org/10.1007/BF01443877
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01443877