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Literatur
Schur, über den Fundamentalsatz der projectiven Geometrie, diese Ann. Bd. 51, p. 401 ff.
v. Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage, 2. Heft, Nürnberg, 1856. Lüroth, Das Imaginäre in der Geometrie und das Rechnen mit Würfen, diese Ann. Bd.8, p. 145 ff. und Bd. 11, p. 84 ff. u. s. w.
Schur, Lehrbuch der analytischen Geometrie, Leipzig, 1898.
a. a. O., Schur, Lehrbuch der analytischen Geometrie, Leipzig, pag. VI und diese Ann. Bd. 51, p. 403.
Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899, Kap. III. Hilbert beschränkt sich ausserdem unter Voraussetzung des Parallelenaxioms auf die Axiome der Ebene, was aus meinen Entwickelungen nicht folgte; auf die Benutzung des Pascal'schen Satzes zum Beweise des commutativen Gesetzes der Multiplication, worin die Hauptschwierigkeit lag, wurde schon in meiner analyt. Geometrie hingewiesen. Vergl. hierzu auch H. Wiener, Ueber Grundlagen und Aufbau der Geometrie, Ber. d. deutschen Math. Ver. I, p. 45 ff. und III, p. 70 ff.
Hölder, Anschauung und Denken in der Geometrie, Leipzig, 1900, p. 17 unten, Sommer, Hilberts Foundations of Geometry, Bull. of the American math. Soc. vol. VI, p. 288 und 289.
Dehn, die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck, In. Diss., Göttingen, 1900, p. 12.
Hilbert, a. a. O. Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899, Kap. III. pag. 21; Hölder, a. a. O. Anschauung und Denken in der Geometrie, Leipzig, 1900, p. 17 p. 35; Sommer, a. a. O., Hilberts Foundations of Geometry, Bull. of the American math. Soc. vol. VI p. 292.
Pieri, Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo, Mem. della Acc. di Torino, 1899.
S. z. B. Schur, Ueber den Zusammenhang der Räume constanten Riemann'schen Krümmungsmaasses mit den projectiven Räumen, diese Ann. Bd. 27, p. 537 ff. und Lie, Theorie der Transformationsgruppen, Leipzig, 1893, 3. Abschn. V. Abth.
Ich erwähne hier auch die vortrefflichen Elementi di Geometria von Veronese, Padova, 1897, in denen der Verfasser der Fondamenti zum ersten Male ein Elementarbuch der Geometrie geschaffen hat, das in Beziehung auf Strenge über Euklid hinausgeht.
Das Axiom II, 5 auf S. 7 von Hilbert's Grundlagen kann nicht als ein reines Axiom der Anordnung betrachtet werden, da es erstens aussagt, dass die Geradea mit einer von zwei Geraden überhaupt einen Punkt gemein hat, und zweitens, dass dieser Punkt zwischen zwei ecken des Dreiecks liegt.
Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig, 1882.
Peano, Sui fondamenti della Geometria, Rivista di Matematica, vol. IV, p. 55 ff., 1894.
Ingrami, Elementi di Geometria per le scuole secondarie superiori, Bologna, 1899, p. 1–50.
Die Zurückführung des Begriffes der Ebene auf diese beiden Postulate über Punkte und Geraden verdankt man Peanol. c., p. 65.
Vergl. z. B. Schur, die idealen Elemente der projectiven Geometrie, diese Ann. 39, S. 115.
S. Veronese, Elementi di Geometria, Padova 1897, p. 112.
S. Reyes y Prosper, Sur les propriétés graphiques des figures centriques, diese Ann. Bd. 32, S. 157.
S. den Artikel des Verf. Ueber die Einführung der sogenannten idealen Elemente in die projective Geometrie, diese Ann. Bd. 36, S. 113–124, bei dessen Abfassung ihm die o. a. Note von Reyes y Prosper sowie diejenige von Pasch, Ueber die uneigentlichen Geraden und Ebenen, diese Ann. Bd. 32, S. 158 entgangen waren.
S. z. B. die Einl. d. ob. Artikels.
F. Klein, Zur ersten Vertheilung des Lobatschewskij-Preises, Kasan, 1897, S. 22.
F. Schur, Ueber den Fundamentalsatz der projectiven Geometrie, diese Annalen, Bd. 51, S. 401 ff.
Hilbert, Grundl. d. Geom., Kap. VI.
Auch hier sind in der elliptischen Geometrie zunächst dieselben Einschränkungen zu machen wie auf S. 267 und die so eingeschränkten Resultate dann auf Grund der Formeln in § 4 auf den ganzen Raum zu übertragen. Wenigstens will es mir scheinen, als ob eine Formulirung der Axiome, die diese einstweilige Einschränkung vermeidet, die Axiome des ihrem Wesen entsprechenden ursprünglichen Charakters entkleiden würde. Vergl. hierzu Peanoa. a. O., p. 75.
Vergl. Peano,l. c., p. 81.
S. diese Ann. Bd. 51, S. 404. Es darf bei dieser Gelegenheit darauf hingewiesen werden, dass den Pascal'schen Satz für zwei Geraden bereits Pappus in seinen collectanea als Prop. 143 mittheilt; vergl. E. Kötter, Ueber die Entwickelung der synthetischen Geometrie, Ber. d. deutschen Math. Ver., Bd. 5, p. 14.
Dehn, Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck, In. diss. Göttingen 1900, S. 22.
a. a. O. Dehn, Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck, In. diss. Göttingen 1900, p. 88 u. 90.
Von Pasch a. a. O. Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig, 1882. p. 121 Aequivalenz genannt.
Hier ist zu bemerken, dass beim Bewise des associativen und des distributiven Gesetzes neben Prospectivitäten nur Projectivitäten mit den sich selbst entsprechenden ElementenU undO benutzt wurden. Denkt man sich diese auf eine bestimmte Art hergestellt, also z. B. als Projectivitäten zweiter Stufe mit einer festen Projectionsgeraden durchO und je zwei Centren, die auf einer festen Geraden durchU liegen, so bedarf man des Fundamentalsatzes der projectiven Geometrie nicht. Man kann dann auch die zweite Form des distributiven Gesetzes: {(OA)+(OB)}·(OC)=(OA)·(OC)+(OB)·(OC) durch den Satz des Desargues beweisen (s. Hilbert a. a. O. S. 62), während nach Hilbert das commutative Gesetz nicht ohne den Fundamentalsatz oder den Pascalschen Satz bewiesen werden kann.
Vergl. F. Klein, Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, diese Ann. Bd. 4, p. 573 ff. u. Pasch, a. a. O. Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig, 1882, p. 155 ff.
S. Dehn, a. a. O. die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck, In. Diss., Göttingen, 1900, p. 29, auch Pasch a. a. O. Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig, 1882, p. 164.
S. z. B. Engel, Zur nichteuklidischen Geometrie, Leipz. Ber. 1898, p. 181 ff.
S. Veronese, a. a. O. S. Elementi di Geometria, Padova 1897, p. 85 u. Ingrami, a. a. O. Elementi di Geometria per le scuole secondarie superiori, Bologna, 1899, p. 128.
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Schur, F. Ueber die Grundlagen der Geometrie. Math. Ann. 55, 265–292 (1901). https://doi.org/10.1007/BF01444974
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