Über einen Zusammenhang der nach Hylleraas und der nach Jaffé bestimmten Lösungen der Schrödinger-Gleichung für ein Elektron im Feld zweier Punktladungen

Zusammenfassung

Bei der Separation der Schrödinger-Gleichung für ein Elektron im Feld zweier festgehaltener Punktladungen tritt eine zweiparametrige Eigenwert-Differentialgleichung für die von der ersten elliptischen Koordinate μ abhängige Funktion U(μ) auf. Für U(μ) wurden von Hylleraas (1931) und von Jaffé (1933) Reihenentwicklungen angesetzt, deren Koeffizienten jeweils als Eigenvektoren einer von der benutzten Basis abhängigen Jacobischen Matrix zu bestimmen sind. In dieser Arbeit wird bewiesen, daß die aus den beiden Ansätzen resultierenden Matrizen dieselben Eigenwertkurven besitzen. Unter der Annahme, daß das Verhältnis RZ/p ungleich einer natürlichen Zahl ist, wird eine nur von diesem Verhältnis abhängige reguläre Diagonalmatrix konstruiert, welche die zwei Matrizen ineinander transformiert sowie deren geeignet normierte Eigenvektoren, also die Koeffizientensätze der zwei Entwicklungen, ineinander überführt.

Abstract

If Schrödinger's equation for an electron moving in the field of two stationary point charges is separated, an eigenvalue differential equation containing two separation constants arises for the unknown function U(μ), where μ is the first of the three prolate spheroidal coordinates. For U(μ), Hylleraas (1931) and Jaffé (1933) introduced two series expansions, the coefficients of which have to be calculated as latent vectors of a tridiagonal matrix depending on the basis chosen. This investigation contains a proof that the matrices resulting from the two expansions have the same latent roots. Provided the ratio RZ/p is not a positive integer, a regular diagonal matrix — depending on this ratio only — is constructed which transforms the two matrices into each other and correlates their properly normed latent roots, i. e. the systems of coefficients of the two expansions.

Résumé

La séparation de l'équation de Schrödinger pour un électron au champ de deux charges ponctuelles fixes conduit à une équation propre à deux paramètres pour la fonction U(μ) de la première coordonnée elliptique μ. Hylleraas (1931) et Jaffé (1933) donnaient des expansions en série, dont les coefficients sont à déterminer comme vecteurs propres d'une matrice tridiagonale dépendant de la base choisie. Nous démontrons, que les matrices résultant des deux procédés ont les mêmes valeurs propres. A condition que le quotient Rz/p ne soit pas égal á un nombre naturel, nous construisons une matrice diagonale régulière ne dépendant que de ce quotient. Cette matrice transforme les deux matrices l'une en l'autre et aussi les jeux de coefficients des deux séries.