ISSN:
1618-1891
Source:
Springer Online Journal Archives 1860-2000
Topics:
Mathematics
Description / Table of Contents:
Summary Let A= $$A = \sum\limits_{\left| \alpha \right| \leqslant l} {a_\alpha (x)D\alpha } $$ be an elliptic differential operator inR u, If, for |α|=l, the coefficients aα are « nearly constant » and, for |α|〈l, they tend to zero at infinity with a certain swiftness, it is proved that A is a Fredholm operator with indexx(A)=0 between a suitable weighted Sobolev space M contained in Wl,p (R n) and Lp(R n, (1+|x|)lp)== $$\{ f \in L_{loc}^1 (R^n )|\mathop \smallint \limits_{R^n } |f(x)|^p (1 + |x|)^{lp} dx〈 + \infty \} $$ . It is shown, by counterexamples, that the above result, holds only if n〉l, p〉n/(n−l) and that isomorphism results can be obtained, in general only if the coefficients aα(|α|〈l) are assumed to be « sufficiently small » also on compact sets. Then a Sturm-Liouville type problem is studied and a class of negative and falling off at infinity potentials V(x) is constructed in such a way that the Schrödinger operator H=−Δ+V(x), in L2(R n), has a zero eigenvalue.
Notes:
Sunto Sia $$A = \sum\limits_{\left| \alpha \right| \leqslant l} {a_\alpha (x)D\alpha } $$ un operatore differenziale ellittico inR n. Se, per |α|=l, i coefficienti aα sono « quasi costanti » e, per |α|〈l, tendono a zero all'infinito con una certa rapidità, si dimostra che A è un operatore di Fredholm con indiceX(A)=0 tra un opportuno spazio di Sobolev con peso M contenuto in Wl,p(R n) ed Lp(R n, (1+|x|)lp)== $$\{ f \in L_{loc}^1 (R^n )|\mathop \smallint \limits_{R^n } |f(x)|^p (1 + |x|)^{lp} dx〈 + \infty \} $$ . Si prova, mediante controesempi, che tale risultato è valido solo se n〉l, p〉n/(n−l) e che teoremi di isomorfismo si possono ottenere, in generale, solo se si assume che i coefficienti aα (|α|〈l) sono « sufficientemente piccoli » anche su insiemi compatti. Si studia quindi un problema del tipo Sturm-Liouville e si costruisce una classe di potenziali V(x) negativi e convergenti a zero all'infinito, tali che l'operatore di Schrödinger H=−δ+V(x) in L2(R n) abbia un autovalore nullo.
Type of Medium:
Electronic Resource
URL:
http://dx.doi.org/10.1007/BF02413185
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