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  • 1
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    A quasi-Newton method with sparse triple factorization for unconstrained minimization (1984)
    Springer
    Computing 33 (1984), S. 315-329 
    Details
    ISSN: 1436-5057
    Keywords: 65K ; Unconstrained minimization ; quasi-Newton method ; LDR factorization of matrix ; sparse matrix techniques ; updating
    Source: Springer Online Journal Archives 1860-2000
    Topics: Computer Science
    Description / Table of Contents: Zusammenfassung Eine neue Quasi-newton-Methode für gewisse Minimalisierungsprobleme ohne Nebenbedingungen ist angegeben. Sie benutzt dünnbesetzte Tripelfaktorisierungen einer Approximation der Hesseschen Matrix. Bei jedem Schritt wird eine neue Spalte und eine entsprechende Zeile in der Approximation der Hesseschen Matrix bestimmt und ihre Faktorisierung wird umgeformt. Unsere Methode behandelt das gleiche Problem wie die Methode von Bräuninger in [2]. Wir verwenden jedoch ein Scheme von Rang zwei statt von Rang eins. Unsere Methode spart über die Hälfte der von Bräuninger benötigten Rechenoperationen ein. Überdies nutzt unsere Methode das Auftreten vieler Nullen aus, und es brauchen deshalb nur die von Null verschiedenen Stellen der Faktoren gespeichert zu werden. Durch geeignete Maßnahmen läßt sich leicht sicherstellen, daß die Approximationen positiv definitiv ausfallen. Unter gewöhnlichen Bedingungen konvergiert unsere Methode global während sie lokal superlinear in den geraden Schritten mit Ordnung ρ konvergiert.
    Notes: Abstract A new quasi-Newton method for unconstrained minimization is presented. It uses sparse triple factorization of an approximation to the sparse Hessian matrix. At each step a new column and a corresponding row of the approximation to the Hessian is determined and its triple factorization is updated. Our method deals with the same updating problem as in J. Bräuninger's paper [2]. However, we make use of a rank-two instead of a rank-one updating scheme. Our method saves over half the number of operations required in J. Bräuninger's method. Moreover, our method utilizes the sparsity and, therefore, only the nonzero entries of the factors need to be stored. The positive definiteness can be preserved easily by taking suitable precautions. Under reasonable conditions our method is globally convergent and locally superlinearly evenn-step ρ-order convergent.
    Type of Medium: Electronic Resource
    URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02242275
    Library Location Call Number Volume/Issue/Year Availability
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    Paper (German National Licenses)
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  • 2
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    On the gaussian elimination method for inverting sparse matrices (1972)
    Springer
    Computing 9 (1972), S. 1-7 
    Details
    ISSN: 1436-5057
    Source: Springer Online Journal Archives 1860-2000
    Topics: Computer Science
    Description / Table of Contents: Zusammenfassung Es wird die Berechnung einer dünn besetzten faktorisirten Form für die Inverse einer dünn besetzten Matrix beschrieben. Die Matrix wird zunächst durch Permutationen in eine obere Dreiecks-Block-matrix überführt, sodann wird eine Variante der bekannten Gauß-Elimination angewandt. Neue von Null verschiedene Elemente können nur in den Diagonalblocks entstehen; für diese Diagonal-blocks lassen sich Methoden zur Beschränkung der Entstehung neuer von Null verschiedener Elemente leicht anwenden, da ihre Dimension i. a. klein gegenüber der Dimension der gesamten Matrix ist.
    Notes: Summary The computation of a sparse factored form of inverse of a given sparse matrix is described. The given matrix is first permuted to a block upper triangular form by row-column permutations, then a simple variation of the well-known Gaussian elimination method is utilized to get the inverse. The growth of non-zero elements during the computation is limited to the diagonal blocks. Techniques for minimizing the growth of non-zero elements in the diagonal blocks are easy to use, as the blocks turn out to be generally much smaller than the whole matrix.
    Type of Medium: Electronic Resource
    URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02236371
    Library Location Call Number Volume/Issue/Year Availability
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    Paper (German National Licenses)
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  • 3
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    On two direct methods for computing generalized inverses (1971)
    Springer
    Computing 7 (1971), S. 236-239 
    Details
    ISSN: 1436-5057
    Source: Springer Online Journal Archives 1860-2000
    Topics: Computer Science
    Description / Table of Contents: Zusammenfassung Es werden zwei Methoden zur Berechnung der generalisiertenMoore-Penrose-Inversen und explizite Ausdrücke für die generalisierten Inversen (1, 2, 3) und (1, 2, 4) einer Matrix gebracht.
    Notes: Summary Two methods for computing theMoore-Penrose generalized inverse and explicit expressions for the (1, 2, 3) and the (1, 2, 4) generalized inverses of a matrix are given.
    Type of Medium: Electronic Resource
    URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02242350
    Library Location Call Number Volume/Issue/Year Availability
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    Paper (German National Licenses)
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  • 4
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    Solution of linear equations in remote sensing and picture reconstruction (1972)
    Springer
    Computing 10 (1972), S. 221-230 
    Details
    ISSN: 1436-5057
    Source: Springer Online Journal Archives 1860-2000
    Topics: Computer Science
    Description / Table of Contents: Zusammenfassung Es wird die Moore-Penrose generalisierte Inverse angewendet, um zwei allgemeine optimale Lösungen eines gegebenen Systems von linearen Gleichungen zu erhalten. Die Lösungen enthalten zwei MatrizenW undV. Es wird gezeigt, daß die vorhandene Auskunft in Bezug auf die gewünschte Lösung und/oder den verbleibenden Vektor inW undV einverleibt werden kann. Verschiedene Resultate in der Literatur sind somit Spezialfälle der hier gegebenen optimalen Lösungen.
    Notes: Abstract The Moore-Penrose generalized inverse is utilized to obtain two general optimal solutions of a given system of linear equations. These solutions involve two matricesW andV. It is shown that available information regarding the desired solution and/or residual vector can be incorporated inW andV. Several of the known results in published literature are shown to be special cases of the optimal solutions given here.
    Type of Medium: Electronic Resource
    URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02316909
    Library Location Call Number Volume/Issue/Year Availability
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    Paper (German National Licenses)
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  • 5
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    Electronic Resource
    A desirable form for sparse matrices when computing their inverse in factored forms (1973)
    Springer
    Computing 11 (1973), S. 31-38 
    Details
    ISSN: 1436-5057
    Source: Springer Online Journal Archives 1860-2000
    Topics: Computer Science
    Description / Table of Contents: Zusammenfassung In dieser Arbeit beschreiben wir einen Algorithmus für die Umformung einer schwach besetzten Matrix in eine Matrix von besonderer Form durch Reihen-Spalten-Permutation. Diese Form ist vorteilhaft für die Berechnung der Eliminationsform der Matrixinversen, wenn die Pivotelemente aufeinanderfolgend auf der Hauptdiagonale gewählt werden. Die Füllung wird somit auf eine bekannte Gegend der Form beschränkt, und die Elemente dieser Gegend können durch Addition von inneren Produkten genau bezeichnet werden.
    Notes: Abstract An algorithm is given for transforming a sparse matrix by row-column permutations to a matrix in a special form. This form is desirable when computing the elimination form of the inverse of the matrix if the pivots are chosen sequentially on the main diagnoal. All the fill-in is limited to a known region of the form and the elements of this region can be computed accurately by accumulation of the inner products.
    Type of Medium: Electronic Resource
    URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02239469
    Library Location Call Number Volume/Issue/Year Availability
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    Paper (German National Licenses)
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  • 6
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    A unified derivation of quasi-Newton methods for solving non-sparse and sparse nonlinear equations (1979)
    Springer
    Computing 21 (1979), S. 113-125 
    Details
    ISSN: 1436-5057
    Source: Springer Online Journal Archives 1860-2000
    Topics: Computer Science
    Description / Table of Contents: Zusammenfassung Eine erweiterte Quasi-Newtonsche Gleichung wird gelöst unter Verwendung derW-V verallgemeinerten Inverse und ergibt eine einheitliche Ableitung der bekannten Quasi-Newtonschen Methode für die Lösung von nichtlinearen algebraischen Gleichungssystemen. Dieser Zugang ermöglicht es uns, neue Formeln für dünnbesetzte und nicht dünnbesetzte Systeme zu erhalten und auch zu bestimmen, welche Normen der Update-Matrizen bei verschiedenen brauchbaren Quasi-Newtonschen Update-Formeln minimisiert werden.
    Notes: Abstract An augmented quasi-Newton equation is solved by using theW-V generalized inverse to give a unified derivation of the known quasi-Newton methods for solving systems of nonlinear algebraic equations. This approach makes it possible to get new formulas for sparse and non-sparse systems, and also to determine what norms of the update matrices are minimized when several useful quasi-Newton update formulas are derived.
    Type of Medium: Electronic Resource
    URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02253132
    Library Location Call Number Volume/Issue/Year Availability
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    Paper (German National Licenses)
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  • 7
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    On the orthonormalization of sparse vectors (1968)
    Springer
    Computing 3 (1968), S. 268-279 
    Details
    ISSN: 1436-5057
    Source: Springer Online Journal Archives 1860-2000
    Topics: Computer Science
    Description / Table of Contents: Zusammenfassung Wir betrachten das folgende Problem: Wie soll die optimale Ordnung der Spalten einer gegebenen sparse Matrize orthonormalisiert werden, so daß die sich ergebende Matrize so sparse wie möglich ist. Es wird gezeigt wie unter gewissen Bedingungen das Optimum bestimmt werden kann. Verschiedene Methoden sind gegeben, welche vom Berechnungsstandpunkt aus einfach sind, und welche eine ziemlich genaue Annäherung an die optimale Spaltenordnung geben. Die Resultate der Berechnungsexperimente, die mit zufällig erzeugten Matrizen durchgeführt wurden, sind auch angegeben. Die Analyse und die Resultate dieser Arbeit gelten für dieGram-Schmidt und auch für dieHouseholdersche Orthonormalisierungsmethode.
    Notes: Summary The problem of finding the optimum order in which the columns of a given sparse matrix should be orthonormalized, such that the resulting matrix is as sparse as possible, is discussed. It is shown how, under certain conditions, the optimum can be determined. Some computationally simple methods, which give a reasonably close approximation to the optimum column order, are given. The results of computational experiments performed on randomly generated matrices are also given. The analysis and the results of the paper hold for both theGram-Schmidt and theHouseholder methods of orthonormalization.
    Type of Medium: Electronic Resource
    URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02235393
    Library Location Call Number Volume/Issue/Year Availability
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    Paper (German National Licenses)
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  • 8
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    On the fill-in when sparse vectors are orthonormalized (1972)
    Springer
    Computing 9 (1972), S. 53-56 
    Details
    ISSN: 1436-5057
    Source: Springer Online Journal Archives 1860-2000
    Topics: Computer Science
    Description / Table of Contents: Zusammenfassung Wenn die revidierteGram-Schmidt-Methode in der Orthonormalisierung einer gegebenen Menge magerer Vektoren angewendet wird, so kann die lokale Füllung von Nicht-Null-Elementen bei jedem Schrift leicht bestimmt werden. Dies ermöglicht eine Neuordnung der verbleibenden Vektoren bei jedem Schrift, die dann eine möglichst kleine lokale Füllung ergibt. Es wird hier ferner gezeigt, daß eine ähnliche Methode auch im Fall derHouseholder-Triangulisierungsmethode verwendet werden kann.
    Notes: Summary If the RevisedGram-Schmidt method is used for orthonormalizing a given set of sparse vectors, then it is shown that the local fill-in of non-zero elements at each stage can be easily determined. This makes it possible to rearrange the remaining vectors at each stage such that the local fill-in is minimized. It is also shown that a similar method can also be used in the case of theHouseholder triangularization method.
    Type of Medium: Electronic Resource
    URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02236376
    Library Location Call Number Volume/Issue/Year Availability
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    Paper (German National Licenses)
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  • 9
    Electronic Resource
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    An iterative method for solving partitioned linear equations (1975)
    Springer
    Computing 15 (1975), S. 357-363 
    Details
    ISSN: 1436-5057
    Source: Springer Online Journal Archives 1860-2000
    Topics: Computer Science
    Description / Table of Contents: Zusammenfassung Es wird ein neues iteratives Verfahren, bei dem die KoeffizientenmatrixA eines linearen, nicht-singulären GleichungssystemsAx=b in zwei Teile aufgespalten wird, hergeleitet, und es wird gezeigt, daß dieses Verfahren immer zur Lösung konvergiert. Der Begriff, daß zwei Vektorräume sich der Orthogonalität annähern, wird quantifiziert; er wird verwendet, um zu zeigen, daß sich die Eigenwerte der Iterationsmatrix Null annähern, wenn sich die Vektorräume, durch die Zweiteilung vonA bestimmt, der Orthogonalität annähern.
    Notes: Abstract A new iterative scheme, using two partitions of the coefficient matrix of a given linear and non-singular system of equationsAx=b, is shown to always converge to the solution. The concept of two vector spaces approaching orthogonality is quantified and used to show that the eigenvalues of the iteration matrix approach zero as the vector spaces defined by the two partitions ofA approach orthogonality.
    Type of Medium: Electronic Resource
    URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02260319
    Library Location Call Number Volume/Issue/Year Availability
    BibTip Others were also interested in ...
    Paper (German National Licenses)
    Fulltext
  • 10
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    On the optimal choice of pivots for the Gaussian elimination (1972)
    Springer
    Computing 9 (1972), S. 245-250 
    Details
    ISSN: 1436-5057
    Source: Springer Online Journal Archives 1860-2000
    Topics: Computer Science
    Description / Table of Contents: Zusammenfassung In dieser Anmerkung wird eine Kostenkriteriumsfunktion beschrieben, für die optimale Pivotwahl bei jeder Stufe der Gauß-Elimination. Sowohl die Füllung wie auch die Anzahl der Rechenoperationen werden dabei berücksichtigt. Überdies werden andere bekannte Kriteriumsfunktionen vonTewarson [4] undMarkowitz [6] besprochen und mit der neuen verglichen.
    Notes: Summary In this note, a cost criterion function for choosing the optimal pivot at each stage of the Gaussian elimination method is described. It takes into consideration both the fill-in and the number of arithmetical operations. Other known criterion functions byTewarson [4] andMarkowitz [6] are also discussed and compared with the new criterion function.
    Type of Medium: Electronic Resource
    URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02246733
    Library Location Call Number Volume/Issue/Year Availability
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    Paper (German National Licenses)
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