ISSN:
1432-0835
Keywords:
Mathematics Subject Classification (1991): 35B27; 76T05; 35Q35; 60H15
Source:
Springer Online Journal Archives 1860-2000
Topics:
Mathematics
Description / Table of Contents:
Abstract. We consider the behavior of incompressible two-phase flow in heterogeneous reservoirs with randomly placed heterogeneities ; that is, in media with permeability $A$ and porosity $\Phi$ which are stationary random fields. We assume both Darcy velocity and the diffusion flux being given nonlinear functions of the concentration. Using the tools of stochastic homogenization we get the nonlinear effective equations which govern the flow behavior in a homogeneous medium, being equivalent in the sense of homogenization theory, to the original one. When $\varepsilon$ is small the randomly heterogeneous porous medium behaves like a deterministic medium with effective permeability tensor $A^0$ . It is shown how to calculate the effective permeability tensor $A^0$ by solving auxiliary stochastic problems. Using the rescaling parameter $\varepsilon$ , corresponding to the characteristic scale of heterogeneities, we prove the convergence of the homogenization process for $\varepsilon\rightarrow 0$ . Furthermore, by using regularity results for the nonlinear effective equations we construct the correctors and establish strong convergence.
Notes:
Résumé. On considère le comportement des écoulements diphasiques incompressibles dans un réservoir hétérogène avec les hétérogéneités placées aléatoirement; c'est-à-dire, dans un milieux où la permeabilité $A$ et la porosité $\Phi $ sont des champs aléatoires stochastiquement homogénes. On suppose à la fois que le vecteur flux de diffusion et la vitesse de Darcy sont des fonctions nonlinéaires de la concentration. En utilisant les techniques d'homogénéisation stochastique on obtient à grande échelle des équations nonlinéaires "efficaces" décrivants un écoulement en milieux poreux equivalent à l'écoulement original dans le sens de la théorie de l'homogénéisation. Le milieu poreux aléatoire se comporte à grande échelle comme un milieux deterministe avec un tenseur "efficace" de permeabilité $A^0$ , pour $\varepsilon $ suffisemment petit. Ce tenseur de perméabilité "efficace" est calculé en resolvant des problèmes stochastiques auxilliaires. Lorsque le paramétre $\varepsilon $ , correspondant à l'échelle caractéristique des hétérogèneités, tend vers zero, nous montrons la convergence du processus d'homogénéisation. Finalement, en utilisant des résultats de régularité pour les équations "efficaces" nonlineaires obtenues, nous construisons les correcteurs et démontrons la convergence forte.
Type of Medium:
Electronic Resource
URL:
http://dx.doi.org/10.1007/BF01189397
